علم واسان الرياضي التقليدي: وسيلة اليابان لابتكارات مذهلة في فترة عزلتها

في إحدى عطلات نهاية الأسبوع في شهر سبتمبر/أيلول عام 2023، اتجهتُ إلى محطة أوغاكي بمحافظة غيفو اليابانية للقاء بيتر وونغ أستاذ الرياضيات في كلية بيتس بولاية ماساتشوستس. كانت لدينا خطط لزيارة معبد ميوجورينجي في مدينة أوغاكي لرؤية سانغاكو من مقتنيات المعبد.

سانغاكو هي نوع من ”إيما (ألواح خشبية عادة ما يتم التبرع بها إلى المعابد البوذية أو الشينتوية من قبل أشخاص يأملون في المساعدة في التغلب على تحدٍ شخصي أو اختبارات). ما يميز سانغاكو عن غيرها من أنواع إيما هو أن كل واحد منها يحيي ذكرى – ويقدم دليلا – على حل جديد لمسائل رياضية صعبة في علم ”واسان (التقليد الياباني للرياضيات الذي طور في فترة إيدو (1603-1868))“. تعتبر سانغاكو – إلى جانب الوثائق المعاصرة – مصادر تاريخية لا تقدر بثمن تسمح لنا بتتبع تطور واسان على مر القرون. هناك حاليا نحو ألف سانغاكو داخل اليابان. ويعد وونغ الخبير في علم الطوبولوجيا، أحد الباحثين المتخصصين في سانغاكو. كانت هذه زيارته السابعة إلى اليابان، وكان يخطط لقضاء ثلاثة أسابيع في المجموع لزيارة مواقع مختلفة لرؤية سانغاكو محفوظة محليا وللقاء باحثين في مجال الواسان.

وونغ ليس الباحث الوحيد من خارج اليابان الذي فُتن بسانغاكو. هناك 3 خصائص فريدة تفسر سر هذا المستوى من الاهتمام: الإنجازات رفيعة المستوى التي وصل إليها واسان في ظل عزلة البلاد، وحقيقة أن سانغاكو كانت تكتب من قبل أشخاص من جميع شرائح المجتمع بمن فيهم النساء والأطفال، والتنوع الجغرافي لهذه الظاهرة، حيث كان التبرع بألواح سانغاكو يتم في المدن الكبيرة والمناطق الريفية على حد سواء.

نظرية هيكسليت تسبق عصرها بقرن

نشر الكيميائي البريطاني فريدريك سودي في العدد 138 من المجلة العلمية الرصينة ”نيتشر“ الصادر في عام 1936، قصيدة بعنوان ”الهيكسليت“. وكانت هذه أول ظهور لما سيُعرف لاحقا بـ ”نظرية سودي للهيكسليت“، والتي وصفت بعض العلاقات بين سلسلة من 6 كرات متصلة.

وفي سبيل تحري الدقة، اسمحوا لي أن أقدم تفاصيل النظرية والقصة وراء اكتشافها كما هو موضح في كتاب ”الرياضيات المقدسة: هندسة المعابد اليابانية“ من تأليف الباحث في الواسان ومعلم الرياضيات السابق في المدرسة الثانوية فوكاغاوا هيدتوشي الحاصل على دكتوراه من الأكاديمية البلغارية للعلوم، وعالم الفيزياء النظرية توني روثمان الذي عمل في جامعة هارفارد ومؤسسات تعليم عالٍ أخرى.

تتمثل النظرية حسب الملخص الذي كتبه فوكاغاوا وروثمان فيما يلي: إذا كانت هناك كرتان نصفا قطريهما a و b تقعان داخل كرة كبيرة ذات نصف قطر r، وتلامس كل منهما الأخرى والكرة ذات النصف قطر r من الداخل، فيمكن عمل قلادة من 6 كرات بالضبط عند ”العنق“ بمكان تلامس الكرتين a و b، بحيث تلامس كل كرة منها أقرب جيرانها وأيضا الكرات a و b و r. وإذا أشرنا إلى أنصاف أقطار كرات القلادة بـr1…r6، فإن 1/r1+1/r4=1/r2+1/r5=1/r3+1/r6.

كان سودي باعتباره كيميائيا يبحث في مجال الروابط الأيونية، مهتما بـ ”مسائل التعبئة“ لاستكشاف كم من الأسطوانات والدوائر ذات أنصاف الأقطار المختلفة يمكن أن تتناسب داخل حدود دوائر أكبر. كما عمل مع الفيزيائي النيوزيلندي المولد إرنست رذرفورد لاكتشاف التحول النووي الناجم عن التحلل الإشعاعي، وفاز بجائزة نوبل في عام 1921 عن جهوده في ”التحقيقات في أصل وطبيعة النظائر“. وهذا يفسر إلى حد ما سبب ارتباط اسمه بنظرية هيكسليت أعلاه.

يمكن عمل قلادة من 6 كرات بالضبط حول ”الرقبة“ المتشكلة مكان تلامس الكرتين a و b.

وفقا لفوكاغاوا الذي قادته أبحاثه حول سانغاكو إلى السفر في جميع أنحاء اليابان، فإن رجلا يُدعى إيريساوا شينتارو هيروأتسو تبرع بلوح يثبت نفس النتيجة تماما إلى معبد ساموكاوا الشينتوي في منطقة ساغامي (الآن محافظة كاناغاوا) في عام 1822. ينحدر إيريساوا من أسرة تجار من هينو في منطقة أومي. وقد عمل في متجر يُدعى هينويا وكان يبيع مكونات مستحضرات طبية تقليدية صينية، بالإضافة إلى الشاي والمنسوجات، وكان ذلك بينما عكف على دراسة واسان في الوقت نفسه. لم يعد لألواح سانغاكو التي صنعها إيريساوا وجودا، ولكن محتوياتها مدونة في كتاب صدر عام 1832 بعنوان ”كوكون سانكان (الرياضيات، الماضي والحاضر)“ من قبل عالم رياضيات واسان أوتشيدا إيتسومي. كان أوتشيدا معلم إيريساوا، وقد ضم كتاب ”كوكون سانكان“ محتويات سانغاكو التي تبرع بها طلابه.

عمل يحاكي لوح سانغاكو لإيريساوا اعتمادا على التفاصيل المدونة في كوكون سانكان، واللوح معروض حاليا في معبد ساموكاوا (بإذن من آبي هاروكي)

الصورة أدناه تظهر صفحتان من نسخة إلكترونية أرشيفية من كوكون سانكان محفوظة في مكتبة الرياضيات بقسم الرياضيات في جامعة كيوتو. يبدأ نص المسألة الرياضية في السطر الخامس من اليمين، مع ذكر الحل في السطور المباشرة بعدها.

أرشيف إلكتروني لكتاب كوكون سانكان، مكتبة الرياضيات بقسم الرياضيات في جامعة كيوتو.

يمكن ترجمة مسألة فوكاغاوا إلى اليابانية المعاصرة على النحو التالي:

”كما هو موضح في الشكل، ضع كرتين (”الشمس“ و ”القمر“) داخل كرة خارجية أكبر، بحيث تلامس كل منهما السطح الداخلي للكرة الخارجية، ثم أنشئ سلسلة من الكرات المتصلة في المساحة المتبقية داخل الكرة الخارجية. إذا كانت أقطار الكرة الخارجية والشمس والقمر هي 30 و 10 و 6 سون على التوالي، وكان قطر الكرة المُسماة ”كو (يمين وأسفل الرسم البياني)“ هو 5 سون، احسب أقطار الكرات الأخرى“.

يعطي الجواب أقطار الكرات المتبقية بالترتيب، بدءا من الكرة المُسماة ”أوتسو (أعلى الرسم البياني)“. بعد الكرة السادسة، ينتهي الحل بـ ”في الكرة السابعة، نعود إلى البداية، وننهي المسألة الرياضية“. بمعنى آخر، أن الكرة ”السابعة“ هي في الواقع الكرة الأولى مرة أخرى، وهذا تجسيد مثالي لنظرية هيكسليت.

وبالتالي، فإن النظرية التي كان يبحث عنها ويوضحها أحد الفائزين بجائزة نوبل اكتشفها تاجر ياباني قبل قرن من الزمان. إن وصف هذا النوع من الفضول الفكري بمجرد هواية يبدو غير كافيا. وعلى أية حال، كانت هذه الطاقة الفكرية السائدة بين عامة الشعب الياباني والتي دعمت واسان كمسعى فكري.

”قديس رياضيات“ ياباني يتفوق على لايبنتز في حساب المُحدد

سيكي تاكاكازو هو شخصية لا يمكن تجاهل الحديث عنها في أي مناقشة حول واسان. تماما كما يُلقب ماتسو باشو بـ ”هايسيي (قديس الهايكو)“ وسين نو ريكيو بـ ”تشاسيي (قديس الشاي)“، أطلق على سيكي لقب ”سانسيي (قديس الرياضيات)“، بالنظر إلى مكانته الرفيعة في هذا المجال. كان سيكي أعظم عالم رياضيات في مجال الواسان على الإطلاق، وهو ينحدر من طبقة الساموراي وكانت ولادته عام 1640 تقريبا ووفاته في عام 1708، ما يجعله معاصرا لإسحاق نيوتن (1642-1727) وغوتفريد لايبنتز (1646-1716)، اللذين عملا على تطوير وتنظيم الحساب التفاضلي والتكاملي. وكانت وظيفة سيكي كمسؤول في الخزانة لـ ”كوفو هان“ والتي شغلها لسنوات عديدة، السبب في جعله أحد علماء الرياضيات المحترفين.

إن قائمة إنجازات سيكي طويلة وتشمل حلولا للعديد من المسائل المفتوحة في واسان آنذاك، ولكن ما يستحق الاهتمام الأكبر هو اعتماده على مفهوم المُحدد واكتشافه لأرقام برنولي. نشر سيكي في حياته كتابا واحدا فقط بعنوان ”هاتسوبي سانبو (الرياضيات المفصلة)“، ولكن بعد وفاته نشر تلاميذه عملا مكونا من 4 مجلدات بعنوان ”كاتسويو سانبو (مجموعة من النتائج الرياضية المهمة، 1712)“ وتداولوا الكثير من المخطوطات التي تثبت نتائجه.

قسّم سيكي المسائل الرياضية والمعادلات في الواسان إلى 3 فئات: ”مرئية“ و ”مبهمة“ و ”مخفية“، ويجب التعامل مع كل منها بالطريقة المناسبة. كانت المسائل الرياضية المرئية هي تلك التي يمكن التعامل معها بالعمليات الحسابية القياسية (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة). أما ”المبهمة“ فكانت تلك التي تتضمن معادلات بمتغير واحد، والمسائل ”المخفية“ كانت تحتوي على متغيرات متعددة. تشمل طريقة سيكي في التعامل مع المسائل ”المخفية“ مزيجا من العمليات يشير إليها باسم ”التبادل (كوشيكي)“ و ”الضرب المتبادل (شاجو)“، وهي تنطوي من الناحية الفعلية على استخراج محدد. وقد شارك سيكي هذه الطريقة على ما يبدو في عام 1683.

وفي الوقت نفسه، وصف لايبنتز في رسالة إلى الرياضي الفرنسي غيوم دو لا بيتال سنة 1693 فكرة المحدد، ولكن التفاصيل كانت غير واضحة. وظل الأمر كذلك حتى عام 1846 عندما نشر الرياضي الفرنسي بيير إف ساروس طريقة لحساب المحددات من الدرجة الثالثة بنفس الطريقة التي اعتمدها سيكي. وعلى أية حال، يمكننا أن نرى أن تبني سيكي لمفهوم المحدد كان قبل لايبنتز بما لا يقل عن عقد من الزمان.

حتى الذين يعانون من الرياضيات ويشعرون بالرعب عند التفكير في حلّ المعادلات المتزامنة يجب أن يكونوا قادرين على اكتشاف عبقرية سيكي في الصورة أدناه. الرسوم التوضيحية أدناه من صفحات من نسخة من كتاب ”كايفوكوداي نو هو (طريقة حل المسائل الخفية)“ من مقتنيات أكاديمية اليابان وهي توضح ”التبادل“ و”الضرب المتبادل“. والحل هو بالضبط نفس ”طريقة ساروس“ التي تُدرس في كتب الرياضيات المعاصرة.

طرق استخراج المحدد.

أريد أن أتجنب حصر المناقشة بالكامل على المسائل ذات الأولوية، ولكن دعونا ننظر في مثال آخر على توصل سيكي أولا لما يسمى بأرقام برنولي. يمكن اعتبار هذه الأرقام سلسلة من الأعداد الخاصة المستخدمة في إيجاد حلول مجاميع أرقام مثل 1 + 2 + 3 +…..، 1²+ 2²+ 3²+…..، 1³+2³+3³+…..، 1^k+2^k+3^k+….. بشكل عام.

لا تُستخدم أرقام برنولي اليوم في مثل هذه الحسابات فحسب، بل اُكتشف أن لها ارتباطات بالعديد من مجالات الرياضيات الأخرى منذ ذلك الحين. وقد أُطلق عليها اسم ”أرقام برنولي“ على اسم عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي الذي أوضحها أول مرة في عمل صدر عام 1713 بعنوان ”Ars Conjectandi“.

إن اكتشاف سيكي لسلسلة الأرقام تلك مدون في كتاب ”كاتسويو سانبو“ ضمن قسم ”داسيكي جوتسو (تقنية إيجاد مجموع الأسس)“. وقد نُشر هذا الكتاب في عام 1712 قبل سنة واحدة من ”Ars Conjectandi“.

في فترة حياة سيكي، كانت السياسات الصارمة للرقابة على الحدود في ظل حكومة شوغونية إيدو سببا في قطع أغلب التواصل مع العالم الخارجي. ومع ذلك، توصل كل من سيكي وبرنولي بوضوح إلى تلك الحقيقة عن طريق اتباع النهج ذاته.

قسم ”داسيكي جوتسو“ في كاتسويو سانبو (بإذن من الأرشيف الرقمي لمكتبة البرلمان القومية)، وإلى جواره ”Ars Conjectandi“ (بإذنه من أرشيف الإنترنت).

حل معادلات من الدرجة العالية

توصل سيكي وخلفاؤه إلى العديد من الحقائق الرياضية الفريدة بخلاف تلك الموجودة أعلاه، أحيانا قبل علماء الرياضيات الأوروبيين وأحيانا بعدهم. ومن بين تلك الحقائق – نذكر بعضها بالاسم فقط – نظرية ديكارت، دوائر مالفاتي، توسيعات تايلور، حسابات أكثر دقة لـ”باي“، حلول تقريبية للمعادلات من الدرجة العالية، وحقائق أخرى. وتمكن تاكيبي كاتاهيرو أحد تلاميذ سيكي الأفذاذ من حساب قيمة باي بدقة عالية إلى 41 رقما عشريا، وقام أحد علماء رياضيات الواسان بالبحث عن حل تقريبي لمعادلة من الدرجة 1458. كانت تلك الإنجازات ثمرة استخدام ”سانغي (خطوط الحساب)“ و ”سانبان (ورقة الحساب)“، ما خلق شكلا من الحواسيب الأولية استخدمه علماء رياضيات الواسان يدويا.

يبلغ طول خطوط سانغي من 3 إلى 5 بوصات مرتبة في خلايا سانبان لتمثيل الأرقام. تُظهر هذه الصورة الأرقام ”19376“ (بإذن من فوكاغاوا هيديتوشي).

لا يزال مفهوم واسان في اليابان يساء فهمه عموما على أنه يستخدم في مستوى لا يتجاوز المرحلة الإعدادية من المدارس، وإحدى أهداف قائمتي أعلاه للاكتشافات الرائدة عالميا باستخدام الواسان هي تحطيم هذه الصورة. وما أتمناه حقا أن يكون معروفا بشكل أوسع، هو حقيقة أن شعب اليابان حتى خلال سنوات عزلة البلاد، استمتع بدفع الرياضيات قدما إلى الأمام.

دعونا نترك الكلمة الأخيرة للبروفيسور وونغ، الذي التقينا به في الفقرات الأولى من هذه المقالة. ينحدر وونغ من أصول صينية، وقد قدم تعليقا عن تطور الواسان يترك انطباعا قويا:

”انظر إلى الصين وبقية الدول الآسيوية. اليابان هي المكان الوحيد الذي حظي شعبه بالسلام لمدة 260 عاما. لقد كان من حسن حظ شعب اليابان أن يتمكن من التركيز على الأنشطة الثقافية بدلا من ذلك“.

لوح سانغاكو تم التبرع به لمعبد إيسوبي الشينتوي في ساباي بفوكوي، يعرض مسألة رياضية لحساب كمية الساكي التي يشربها كل فرد مشارك في حفلة لمشاهدة الزهور (بإذن من معبد إيسوبي).